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作品简介:

由一个三角形的任一顶点向对边作垂线,以所得的三个垂足为顶点从而构成的这一特殊三角形,称为“垂足三角形”。本文集介绍垂足三角形与原三角形的一些关系,反映两者之间的内在联系,帮助学生牢固掌握此知识点,且能做到融会贯通。

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李旭良
广东省韶关市广东北江实验...
第1章 垂足三角形与原三角形的一些位置关系
1.垂足三角形的性质及证明
徐小建
锐角三角形的垂足三角形有两个重要的性质 ,本文对这两个性质加以证明 .性质 1 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心 .已知 :如图 1,锐角△ABC中 ,AD、BE、CF分别为边BC、AC、AB上的高 ,O为垂心 .求证 :点O为垂足△DEF的内心 .证明 :由已知条件可得D、C、E、O四点共圆 ,所以∠   详情>>
来源:《中学数学杂志》 2004年第08期 作者:徐小建
2.浅谈一道几何问题的解答模式
马岷兴;梁维权
<正> 锐角三角形的垂心是其垂足三角形的内心.这是一个正确的命题.即如图(一)所示:H 为△ABC 之垂心,△FED 为垂足三角形,则:∠EDA=∠FDA,∠DEB=∠FEB,∠DFC=∠CFE.一   详情>>
来源:《数学教学通讯》 1997年第03期 作者:马岷兴;梁维权
第2章 垂足三角形与原三角形的一些数量关系
1.垂足三角形与原三角形的一些关系
胡耀宗
<正> 所谓垂足三角形是三角形的高线足所成的三角形。关于垂足三角形与原三角形的关系我们已经知道了一些,比如三角形的三条高线平分垂足三角形的内角或外角;锐角三角形的所有内接三角形中,垂足三角形的周界最小。这里,我们通过对垂足三角形面积和一些长度的计算,进一步说明垂足三角形与原三角...   详情>>
来源:《益阳师专学报》 1986年第06期 作者:胡耀宗
2.怎样的锐角三角形与其垂足三角形相似
凌明灿;吴康
<正>由三角形三条高的垂足形成的三角形叫垂足三角形.垂足三角形是一个重要的衍生三角形,它具有许多美妙的性质.如原三角形的高是垂足三角形的内角平分线,从而原三角形的垂心就是垂足三角形的内心等等.稍画一个图便知垂足三角形并不像中位三角形那样始终与原三角形相似.那么,若一个锐角三角形...   详情>>
来源:《数学通报》 2014年第04期 作者:凌明灿;吴康
3.垂足三角形的周长和面积
嵇国平;孙四周
早在古希腊时期,海伦就发现了下面的事实:锐角三角形的垂足三角形是它的所有内接三角形中周长最小的三角形.到了近代,数学大师施瓦尔兹又利用反射给出了简洁明快的证明,使它的流传更广了.问题是,这个三角形的周长是多少呢?能求出它的面积吗?下面的定理和推论会给出完整的回答.   详情>>
来源:《中学数学月刊》 2007年第09期 作者:嵇国平;孙四周
4.垂足三角形周长和面积的简证
曾仪
如图1,△ABC的角A,B,C所对之边分别为a,b,c.AD,BE,CF为三条高,H为垂心,则△DEF是垂足三角形.又命R和Δ分别为△ABC的外接圆半径和面积,文[1]给出了垂足三角形的周长l0和面积Δ0的公式:l0=4Rsin Asin Bsin C,(1)Δ0=2Δcos Acos Bcos C.(2)可惜其证明太长,现简证如下:先证(1)式.   详情>>
来源:《中学数学月刊》 2007年第12期 作者:曾仪
5.斜三角形的垂足三角形的3个性质
苏昌盛
<正>本文将给出非直角?ABC的垂足三角形?DEF的几个性质:定理1若?DEF是斜三角形?ABC的垂足三角形,则DE EF+D|a?=cos A|+|b?cos B|+|c?+cos CF|.证明(1)若?ABC为锐角三角形,如图1,DAD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADB=∠AEB=90o,∴A E,D,B,四点共圆,∴∠CDE=∠CAB,   详情>>
来源:《福建中学数学》 2017年第02期 作者:苏昌盛
6.有关垂足三角形几个最值猜想的证明
蒋荣清
△DEF为锐角△ABC内点P对应的垂足三角形,记三角形的面积、周长、外接圆半径分别为S,L,R.笔者证明了当点P为△ABC的外心时,S最大;当点P为△ABC的垂心时,L最小;当点P为△ABC的内心时,R最小.   详情>>
来源:《中学教研(数学)》 2016年第03期 作者:蒋荣清
7.关于垂足三角形的一个恒等式
李耀文
关于垂足三角形内切圆半径有一个恒等式 .图 1定理 设△ DEF是锐角△ ABC的垂足三角形 ,且 BC =a,CA =b,AB =c,△ ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径分别为△、R、r.若△ AEF、△ BDF、△ CDE的内切圆 (⊙ IA、⊙ IB、⊙ IC)的半径依次为 r A、r B、r C,则有 :r Acot A2 + r   详情>>
来源:《中学数学》 2004年第06期 作者:李耀文
8.和垂足三角形有关的几个不等式
蔡晓峰;朱敏
本文主要研究了和垂足三角形有关的三角形之间外接圆半径,内切圆半径,旁切圆半径的相关几个不等式.图1定理若△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,△AEF,△BDF,△CDE,△ABC的内切圆半径分别记为rA,rB,rC,r,外接圆半径分别为RA,RB,RC,R,则有(1)R2A+R2B+R2C≥34R2;(2)   详情>>
来源:《数学通讯》 2009年第24期 作者:蔡晓峰;朱敏
9.再探一个有趣的几何不等式
姜宗耀
文 [1]中给出了一个有趣的几何不等式 :定理 1 若△ DEF是△ ABC的垂足三角形 ,△ABC的外接圆半径为 R,面积为 S,△DEF的外接圆半径为 R0 ,则有RR0 ≥2 39S. (1)原证法不仅过程繁琐 ,而且证明中用到的引理 1,△DEF的三边长分别为 acos A,bcos B,ccos C对钝角三角形不成立 .本   详情>>
来源:《中学数学月刊》 2002年第06期 作者:姜宗耀
第3章 垂足三角形问题的延伸
1.对有关垂足三角形的进一步探究
蒋荣清
<正>文[1]对正三角形的一个结论进行了探究,而文[2]继续在文[1]的基础上进行了进一步的探讨和深化.正如波利亚所说的,一个好的问题正如一只蘑菇,它的周围还有许多蘑菇.本人拜读这   详情>>
来源:《数学教学》 2009年第12期 作者:蒋荣清
2.垂足三角形的相似比
陶桢干
<正>概念设P是△ABC内的任意一点,从该点向BC、CA、AB分别引垂线PA1、PB1、PC1(如图1),以它们的垂足A1、B1、C1为顶点的三角形A1B1C1称为△ABC关于"垂心"P的垂足三角形.问题对任一给定的△ABC与△ABC中给定的一个内点,第三个垂足三角形A3B3C3与△ABC相似吗?若相似,相似比能恰当地表示吗?纽伯格...   详情>>
来源:《中学数学教学》 2014年第02期 作者:陶桢干
3.“垂足三角形”的几个性质
续铁权
<正>1 三阶垂足三角形的性质 以三角形三条高的垂足为顶点的三角形常称之为垂足三角形,本文将此概念作一推广。从平面上一点P向△ABC各边作垂线,垂足为A_1、B_1、C_1且不共线,则称△A_1B_1C_1为点P关于△ABC的垂足三角形,或一阶垂足三角形。点P关于△A_1B_1C_1的垂足三角形△A_2B_2C_2称为二阶...   详情>>
来源:《中学数学月刊》 1997年第10期 作者:续铁权
第4章 垂足三角形与数学竞赛题
1.从垂足三角形谈起
李成章
众所周知,以三角形的三条高的三个垂足为顶点的原三角形的内接三角形称为原三角形的垂足三角形,它的一个有意义的特点是:原三角形的三条高恰为垂足三角形的三条内角平分线.后来,有心人对此深入细致地研究,发现这里有一个问题:是由三条高的条件整体上决定它们恰是垂足三角形的三   详情>>
来源:《中等数学》 2005年第10期 作者:李成章
2.与内接三角形相关的竞赛题
刘清泉
<正>(本讲适合初中)若一个三角形的三个顶点均在一个图形的边界上,则称此三角形为该图形的内接三角形.与内接三角形有关的问题大多存在于平面几何的三大内容———三角形、四边形及圆———之中.在解题过程中,广泛地运用到了与三角形、四边形及圆等诸多知识,同时还涉及到了代数中函数、方程等...   详情>>
来源:《中等数学》 2012年第06期 作者:刘清泉
3.一道竞赛题的解答及思考
王怀昌
<正>2006年全国初中数学竞赛山东赛区预赛有这样一题:如图1,三角形的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形( ).   详情>>
来源:《中学生数学》 2006年第24期 作者:王怀昌
4.一个基本图形与一类数学竞赛题(高一、高二、高三)
陈昭亮
<正> 基本图形如图1.△ABC的高AD、BE、CF交于H,连结DE、EF、DF,这是一个颇为重要的图形,因为有以下的结论(1)6组四点共圆:①B、D、H、F;②D、C、E、H;③E、A、F、H;④F、B、C、E;⑤D、C、A、F;⑥E、A、B、D.   详情>>
来源:《数理天地(高中版)》 2002年第03期 作者:陈昭亮
5.一道国际竞赛预选题的加强
贝嘉禄
<正>由巴西国提供的第34届IMO预选题现抄录如下:   详情>>
来源:《中学数学月刊》 1997年第06期 作者:贝嘉禄
6.一道联赛题的简证、推广与引申
李耀文;李加宝
<正> 2001年世界城际间数学联赛第6题是: AD,BE,CF是△ABC的高,K,M,N分别为△AEF,△AFD,△COE的垂心。求证:△DEF和△KMN是全等三角形。文[1]中给出一个三角法证明,本文给出一个简洁的纯平几证明,并对此试题加以推广和引申研究。   详情>>
来源:《中学教研》 2003年第07期 作者:李耀文;李加宝
7.第34届IMO预选题解答(上)
杨桂芝
<正> 1.(巴西)试证存在平面上的有限点集A,使对每点X∈A,都存在A中的点Y_1,Y_2,…,Y_(1993),对每个i∈{1,2,…,1993},Y_i与X的距离都等于1。 注:此题是1971年第13届IMO第5题的特例。 2.(加拿大)设△ABC的外接圆半径R=1,内切圆半径为r,它的垂足三角形A′B′C′的内切圆半径   详情>>
来源:《中等数学》 1995年第06期 作者:杨桂芝
8.第七届巴尔干数学奥林匹克试题及简解
戎松魁
<正> 巴尔干地区中学生数学奥林匹克是根据保加利亚、希腊和罗马尼亚等国建议而组织进行的.历届竞赛的时间与地点如下:第一届于1984年在希腊首都雅典进行;第二届于1985年在保加利亚首都索菲亚进行;第三届   详情>>
来源:《中等数学》 1991年第02期 作者:戎松魁
价格:¥18.00

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